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By Dirk Ferus

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Dazu f¨ uhren wir folgende Schreibweise ein: µ(p1 , . . , xj1 − pj1 , . . , xjm − pjm , . .

Bemerkung. In der linearen Algebra haben Sie die Norm in einem Euklidischen Vektorraum kennengelernt. , . induziert eine Norm verm¨oge x, x . x := Aber nicht jede Norm auf einem reellen Vektorraum kommt von einem Skalarprodukt. Notwendig und hinreichend ist die sogenannte Parallelogrammgleichung 2( x 2 + y 2) = x + y 2 + x − y 2. Das die Bedingung notwendig ist, rechnen Sie leicht nach. Dass sie auch hinreichend ist, ist schwieriger zu zeigen. Man definiert 1 ( x + y 2 − x − y 2) 4 und muss dann vor allem die Bilinearit¨at zeigen.

B Schließlich ist nach dem 1. Fall die lineare Abbildung F ◦ Φ : Rn → W stetig mit F ◦ Φ(x) ≤ A x f¨ ur alle x ∈ Rn . Damit erhalten wir F (v) = F ◦ Φ(Φ−1 (v)) ≤ A Φ−1 (v) ≤ AB v . Korollar 99 (Die Operatornorm auf L(V, W )). Seien V und W normierte Vektorr¨ aume und V = {0} endlich-dimensional. Dann definiert F := sup v=0 F (v) v f¨ ur F ∈ L(V, W ) eine Norm auf dem Vektorraum L(V, W ). Beweis. Nach dem Satz gibt es ein C ∈ R, so dass f¨ ur alle v = 0 F (v) ≤ C. v Daher ist F ∈ R. Die Norm-Eigenschaften sind leicht zu verifizieren.

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Analysis II [Lecture notes] by Dirk Ferus


by Christopher
4.1

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