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By Harm Pralle

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Es bleibt zu zeigen, dass G1˜γ transitiv γ ˜ auf (1˜ γ )t˜ operiert. h. 7 Erzeugnisse 41 ν1 , ν2 , ζ1 , ζ2 ∈ γ. Wegen z˜ γ = zζ2−1 ν2 γ˜ sei z ′ := zζ2−1 ν2 . Dann folgt (y˜ γ )τz ′ y−1 = ′ z γ˜ = z˜ γ , und die Abbildung τz ′ y−1 geh¨ort zu G1˜γ , weil z ′ y −1 = zζ2−1 ν2 y −1 = (ζ1 tζ2 )ζ2−1 ν2 (ν1 tν2 )−1 = ζ1 ν1−1 ∈ γ . ˜ /˜ Also ist der Stabilisator G1˜γ transitiv auf 1t˜γ˜ f¨ ur jedes t˜γ˜ ∈ Γ/ γ. 7 ✷ Erzeugnisse Es seien (X, R) ein Assoziationsschema und C die Menge der abgeschlossenen Teilmengen von R.

14 existieren ein l ∈ L und c ∈ R mit q ∈ lc und l(q) = l(c) + 1. Also existiert ein Element b ∈ pl, so dass r ∈ bc, l(b) = l(p) + 1 und l(r) = l(b) + l(c). Analog existiert ein Element b′ ∈ p′ l mit r ∈ b′ c, l(b′ ) = l(p′ ) + 1 und l(r) = l(b′ ) + l(c). Wegen l(q) = l(c)+1 gilt c ∈ / E. Weil r ∈ bc∩b′ c und l(r) = l(b)+l(c) = l(b′ )+l(c) gelten, folgt b′ = b. Weil R eingeschr¨ankt ist, folgt aus b ∈ pl und l(b) = l(p) + 1 schon pl = {b} und analog p′ l = {b′ } = {b}. Also gilt pl = p′ l und somit auch p′ ∈ {p, b}.

D linear unabh¨angig in H(A(Γ)). Also ist ihre Anzahl d + 1 kleiner gleich der Dimension von H(A(Γ)). 13 folgt die Behauptung. 3 Die Zentralisatoralgebra einer Permutationsgruppe Es sei Γ = (E, K) ein endlicher Graph mit |E| = n. 2 ist eine Permutation g ∈ Sym(E) ein Automorphismus von Γ genau dann, wenn die Permutationsmatrix M (g) mit der Adjazenzmatrix A(Γ) kommutiert. F¨ ur eine Permutationsgruppe (G, X) definieren wir den Zentralisatorring VZ (G, X) := {A ∈ Zn×n | AM (g) = M (g)A f¨ ur alle g ∈ G} und die Zentralisatoralgebra VC (G, X) := {A ∈ Cn×n | AM (g) = M (g)A f¨ ur alle g ∈ G} .

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Algebraische Kombinatorik by Harm Pralle


by Daniel
4.4

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