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By Frank Räbiger

ISBN-10: 3540535659

ISBN-13: 9783540535652

ISBN-10: 3662008912

ISBN-13: 9783662008911

Die vorliegende Arbeit gibt eine Einfuhrung in das Konzept der Absolutstetigkeit von Operatoren. Hierbei handelt es sich um eine Erweiterung des klassischen Absolutstetigkeitsbegriffes bei Massen auf Operatoren zwischen Banachraumen. Beispiele machen den Leser mit diesem Konzept zunachst vertraut. Die Entwicklung einer Dualitatstheorie erlaubt eine Charakterisierung der Absolutstetigkeit in der Sprechweise von Operatorenidealen. Hieraus folgen in einfacher Weise Erblichkeitsaussagen fur absolutstetige Operatoren. Anwendungen in der Interpolationstheorie fuhren auf neuartige Ergebnisse uber die Struktur von Interpolationsraumen und das Erblichkeitsverhalten interpolierter Operatoren. Fur Operatoren auf Banachverbanden ist die Ordnungsabsolutstetigkeit die adaquate Erweiterung der Absolutstetigkeit bei Massen. Eine zu diesem Konzept entwickelte Dualitatstheorie ist der Schlussel zu Erblichkeitsaussagen fur ordnungsabsolutstetige Operatoren. Entsprechende Ergebnisse fur linear und nichtlinear majorisierte Operatoren sind hierin als Spezialfalle enthalte

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1) ergibt sich die folgende Aussage. 2) Jeder Banachfunktionenraum ist ordnungsseparabel und ordnungsvollständig. :,11), 1 ~ p ~ oo, Orlicz-Funktionenräume, Orlicz-Folgenräume, Lorentz-Funktionenräume, Lorentz-Folgenräume sowie Marcinkiewicz-Räume (siehe auch [KPSJ, [LTl], [LT2], [LZ], [Z]). Im allgemeinen enthält ein Banachfunktionenraum nicht sämtliche charakteristischen Funktionen XA, A E I:. Allerdings gilt die folgende Aussage. :l An = 11 ist, und daß außerdem §112). al von E. Der RaumE* ist ein Banachfunktionenraum über (11, I:, 11) und isometrisch verbandsisomorph zum Band der ordnungsstetigen Linearformen auf E ([Z], §112).

10 Korollar. C(H,E) Operatoren zwischen Banachräumen E, F, G und H. Weiter sei q eine stetige, lineare Surjektion von einem Banachraum X mit der Lifting-Eigenschaft nach F. C(X,G) existiert, so daß (SQn) SRkonvergent gegen Tq ist. 4. Das Erblichkeitsverhalten absolutstetiger Operatoren und injektive und surjektive Operatorenideale Wir wollen uns in diesem Paragraphen mit der Frage befassen, welche Eigenschaften sich bei gegebenen OperatorenSundRauf die zu (S, R) absolutstetigen Operatoren übertragen.

Mastylo ([M]). l,~,p). Die Symbole V und /1. stehen für die Verbandsoperationen sup und inf. l, ~. l, b) g /1. ~ 1 A,. ist und XAn(g V h) E E gilt für jedes nEN. -59- F. 2) + E, n E N, vermöge kn(x;g,h) := inf{llxolloXAn9 + llxtlltXAnh: Es sei (Xo,Xt)g,h,E := {x E Xo + X1: versehen mit der Norm llxll 9 ,h,E := II Vkn(x;g,h) existiert in E}, Vkn(x;g, h)IIE· Ist (X0 , X 1 ) ein Interpolationspaar von Banachverbänden (siehe §6), dann bildet (X0 ,Xt)9 ,h,E ein Ideal in X 0 + X 1 und ll·llg,h,E ist eine Verbandsnorm.

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by David
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